「西日本構造解析研究会」における退官記念講演会

　幾何学的非線形構造解析法における有限要素法の功罪
　　　

１．まえがき

　わが国における構造解析の分野に、有限要素法が取り入れられるようになってすでに久しいが、土木工学の分野では、それ以前、すでに骨組構造に対しては、たわみ角法を起源とした変位法（当時は変形法と呼ばれていた）が定着しており、当時の計算センター各社の大型計算機の利用を前提としたマトリックス構造解析法のプログラムの開発も盛んに行われていた。

　 しかしながら、有限要素法が本来の連続体のみでなく骨組構造を含めた有限要素構造全体に対する汎用理論として喧伝され普及するに従い、微小変位理論のはり要素に対してさえ、初等構造力学における断面力の概念と部材座標系における独立な部材力式からの座標変換による共通座標系に関する剛性方程式の定式化という既得の知識の延長としての身近な変形法の手法に代わり、ひずみと変位の関係式と要素内変位の多項式による補間から説き起こす有限要素法の手法を用いる参考書なども一般的なものとなってきた。

　さらに、幾何学的非線形解析においては、その傾向は加速され、要素内でのひずみと変位の関係式として非線形項を付加した Green-Lagrange のひずみテンソルを用いる有限要素法の拡張理論が一般的な手法として位置づけられ、土木工学ハンドブックや有限要素法ハンドブックなどにも採りり上げられている。

　このように有限要素法が、骨組構造も含めての汎用理論として位置づけされたのとは逆に、土木工学で定着していた変形法を有限要素構造に対する汎用理論へと発展させることも可能であり、またその方が現在の難解すぎる幾何学的非線形解析法の輩出もなく、より簡明で実用的かつ高精度な汎用解析理論への展開と普及が容易ではなかったかと考えられる。

　本論文は、これらの根拠と一般的な有限要素法による幾何学的非線形解析法の問題点を、変形法の拡張理論として筆者らが提唱してきた要素剛性分離の手法による接線剛性法と対応させながら考察、検証するものである。

２．要素剛性分離の手法による接線剛性方程式と接線剛性法の汎用性

　接線剛性法のための要素剛性分離の手法と有限要素法の比較の論拠の基本を明確にするため、周知の変形法の理論を示しておくことにする。

　有限要素構造物を構成する単一要素を取り出し、これに静定で安定な支点拘束条件を設定し、無拘束方向の節点力と対応する変位の組み合わせを要素力と要素変形と定義し（要素座標系の設定）、その関係式を要素力式あるいは要素力剛性方程式と呼ぶことにする。
　　　

　この必要最少限の要素力式は、要素内荷重が作用しない場合の要素の可能な応力・ひずみ状態を表し得るものである.

　要素には、他の要素と連結して全体構造系を構成するための複数の節点（要素端）があり、それらの節点に作用する共通座標系方向の節点力と要素力との関係を求める。

　　平衡条件式　　Ｕ＝αＳ ………………………………………………………………………… (2)

　　　　　　　　　　　Ｕ：要素端における作用力の共通座標系方向の成分によるベクトル
　　　　　　　　　 　 α：要素力を要素端節点力へと変換する要素座標系の共通座標系に関する方向余
　　　　　　　　　　　　　弦等から構成されるマトリックス

　Ｕに対応する節点変位ベクトルｕと要素変形ベクトルの関係式すなわち適合条件式はαの転置マトリックスを用いて
　　
となることから、共通座標系に関する要素の節点力と節点変位との関係すなわち剛性方程式が次式のように得られる。


　すなわち、これを全要素について適用し、重ね合わせることによって全体構造系の剛性方程式が得られることになる。

　有限要素法では、応力・ひずみ関係からひずみと変位の適合条件、変位関数の設定と要素内積分を用いて、要素力式、平衡条件式を経由せずに直接剛性方程式が導かれる場合が多く、変形法でも直接、共通座標系に関する剛性方程式を示す教科書もあるが、ここでは要素力と要素変形の設定という過程を省略しないことがきわめて重要である。

　以上の式(1)から(4)に至る変位法の拡張理論としての接線剛性法のための要素剛性分離の手法では、式(2)を先行状態における平衡条件式とすることから出発する。
　 先行平衡状態からの変動を考えるために、式(2)を微分すれば

　　　　

となり、中辺第１項は要素力剛性に関する接線剛性マトリックス、第２項は接線幾何剛性マトリックスを導き

　　　　

あるいは、微小増分記号ｄに対して有限増分記号�凾�用い、先行状態における要素力Ｓを一定として

が成立する。 ここで式(5)からの全体構造系に関する接線剛性方程式を

　　　　

として、接線剛性法は、初期平衡状態の荷重ベクトルＵ＝Ｕ０ に新たに付加する荷重ベクトル�凾tを初期不平衡力として荷重項ｄＵと置き、以下の過程をたどることになる。

1. ｄＵを与えて全体構造系に対する接線剛性方程式を解き得られた変位増分より変位�凾普∞凾普{ｄｕ　を求める。
2. 全節点の座標値、回転量などを修正し、厳密な適合条件を用いて要素変形を算出する。
3. 要素変形から設定した要素力式に忠実に要素力を求め、共通座標系に関する要素の新しい変形状態に従って作用する要素端力の合力として全節点の作用節点力Ｕ１を求める。
4. 以上の状態の構造系と作用節点力Ｕ１を新たな先行状態として不平衡力
   　ｄＵ＝Ｕ＋�凾t−Ｕ１　を求める。
5. 不平衡力の最大値が許容値以上の場合、新たな先行状態における座標値、要素力を用いて接線剛性マトリックスを求め1)以下の過程を反復する。

図−0　接線剛性法の収束概念図

　第１象限における変位と荷重の厳密な関係を表す非線形の剛性方程式は、本手法では与えられておらず、ここでは点線で示しておく。

　第２象限は共通座標系に関する節点変位�凾浮謔闃e要素固有の要素座標系に関する要素変形�凾唐�求める適合条件式、第３象限は要素変形から対応する要素力�凾rを求める要素力式、さらに第４象限は各節点に集まる要素の要素力から変形後の形状を考慮した座標変換により算出される節点力としての荷重を求める平衡条件式を表すものとする。

　原点 O は既知の平衡状態で、接線剛性法の反復手法は、まず与えられた荷重増分としての節点力�凾t(Ｑで示す)に対してＯ点を先行状態とする接線剛性方程式を解き�凾浮Pを得る(Ｏ→Ａ→Ｂ)。
　 この変位�凾浮P に対して適合条件式により要素変形�冱１、次に要素力式により要素力�凾r１さらに平衡条件式を用いて、その変位状態を発生せしめる厳密な荷重状態としての�凾t１を計算することにより(Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ)新しい平衡状態Ｆを設定する事ができる。

　もちろん、この状態はまだ目的の状態とは異なり、与えられた荷重�凾t に対してｄＵ２＝�凾t-�凾t１ :（Ｑ−Ｅ)の不平衡力が存在する。 したがって、この状態Ｆを先行状態とする接線剛性方程式(Ｆ→Ｇ)を用いてｄＵ２に対する解ｄｕ２ :(Ｈ−Ｂ)を求め、新しい変位 �凾浮Q ＝�凾浮P＋ｄｕ２ よりＨ→Ｉ→Ｊ→Ｋとして�凾浮Qを満足せしめる荷重状態Ｋが得られ、次の先行状態としてＬの設定が可能となる。

　したがって、この状態 Ｆを先行状態とする接線剛性方程式(Ｆ→Ｇ)を用いてｄＵ２に対する解ｄｕ２ :(Ｈ−Ｂ)を求め、新しい変位 �凾浮Q ＝�凾浮P＋ｄｕ２ よりＨ→Ｉ→Ｊ→Ｋとして�凾浮Qを満足せしめる荷重状態Ｋが得られ、次の先行状態としてＬの設定が可能となる．

　以下これを反復することにより、Ｏ→Ｆ→Ｌ…→Ｚ と無限にＺに近づけることができる．

　要するに接線剛性法は、力学的に簡明な接線剛性方程式の定式化に加え、非線形の剛性方程式を使用しない数学的には Newton-Raphson 法と等価な反復手法であり、接線剛性方程式の定式過程と整合する要素変形、要素力の算出など、1)〜5)に示した手順が一体となってその効果を発揮するものであり、剛体変位を拘束された単体の構造系としての全挙動を規定する要素力式に従う要素によって構成された全体構造系の厳密解を与える。

　したがって、構造物の変形挙動の真の解としての曲線形状と、接線剛性法による収束解による形状との差は、たとえば平面骨組み構造の場合、要素力式に通常のはり、柱の微分方程式の解を用いた場合には、節点間の真の曲線形状を両端の位置と回転を一致させて要素力式の解が取り得る解析曲線で近似させた場合の曲線長の比と１との差が誤差の目安となることが確かめられている。

　また、変位制御による解析においても、強制変位を与える節点に、その変位の方向のみを拘束する支点条件を与え、まず、1)において、剛性方程式は解かずに拘束方向の変位のみを所定の変位量とし他は０としたものを変位ベクトルとして 2) 以降の手順をたどればよく剛性マトリックスには、支点条件のほか特別な操作を加える必要はない。

　さらに、反復に際しての初期近似値の設定とか、付加荷重が大きすぎるための分割増分毎の載荷とかの必要はなく、無応力状態からいわゆる弾性座屈近傍の不安定領域となるような荷重増分を一括載荷しても解が存在すればその解へ、また複数の解がある場合にはいづれかの解へ確実に収束する。

　ここで示した接線剛性法の平衡条件式(2) 以降の理論展開は、要素の節点の個数とその種類（剛節か滑節か）によって統一され、直線棒要素とか、曲面シェル要素あるいは立体ブロック要素といった、要素自体の種類とは完全に無関係となり、構造物の幾何学的非線形解析にとって最重要な要素変形と節点変位の適合条件の非線形性に起因する厳密な接線幾何剛性を統一的に定式化し得る。
　たとえば、４節点剛節４面体要素と４節点剛節曲面シェル要素も全く同一の接線幾何剛性として定式化することができ、これらのことからも変形法の延長にある本手法が、有限要素法以上に骨組構造に限定されない、有限要素構造における幾何学的非線形解析の汎用理論としてきわめて有用であることが理解されよう。

　なお、以上のような接線剛性法的分類によりモデル化された有限要素の要素力式は、一般的には、既述のように要素に静定で安定な支点条件を設定、その要素に固定された要素座標系に関する無拘束方向の節点力とその対応変位の組合わせ、立体多節点滑節要素の場合には、全節点を連結する内的に静定な仮想トラス骨組を想定し、その部材力と部材の伸縮量との組合わせなど、要素内の応力・ひずみ状態を定める剛体変位に影響されない要素力と要素変形間の関係式として、各要素の種類に応じた理論による定式化として研究されることとなり、連続体からの有限要素モデルなど、ここで本来の有限要素法の理論が展開されるところであろう。

　このように、要素力式は、最も効果的に剛体変位を除去しての選定が可能なため、要素分割が適当であれば、微小変位理論を用いても実用上十分な精度の解が得られ、また分割をさらに密にすることにより誤差を激減させることが可能である。

　さらに特筆すべきことは、本手法における接線幾何剛性は、要素剛性から完全に分離独立して存在するものであり、このことから、要素剛性を持たず幾何剛性のみの要素からなる構造系を想定する事により、２次元幾何剛性要素、あるいは四面体幾何剛性要素による石鹸膜構造系、１次元幾何剛性要素による軸力線構造など、分布張力や軸方向力のみの釣り合い系の解析も可能となり、大空間膜構造や曲線格子ドームの形状決定解析にも適用し得るということである。

３．有限要素法による直線棒要素の幾何剛性マトリックス

　有限要素法による幾何学的非線形解析理論に関しては、数多くの研究がなされており、これらを総括して論じることは不可能であるが、海外において、多くの研究者が解析理論の展開の基礎とし、いわば正統的と見なされ、わが国でも土木工学ハンドブックや有限要素法ハンドブックなどにも示されている理論を用いた直線棒要素の幾何剛性マトリックスの定式化について考える。

　一般的には有限要素内でのひずみと変位の関係式を非線形項を付加した Green-Lagrange のひずみテンソルで設定、要素内の応力や変位を多項式で補間し、仮想内部仕事の要素内積分により接線剛性マトリックスｋＴを導く。

　ｋＴはひずみテンソルの非線形項に起因する幾何剛性マトリックスｋＧと微小変位理論としてのマトリックスｋ０の和として表示されるが、一般にｋＴおよびｋＧは陽な形で厳密に表すことはできない。

　直線棒要素に関しては、図−１に示すような、変位前の要素の状態を水平として、断面内の着目点の変位は、中立軸の水平変位を１次関数、垂直変位を３次関数と仮定すれば次式が得られる。

　軸方向ひずみと変位は、有限変位のひずみテンソルより

となるが、右辺第２項は、その微小性と垂直変位がない場合のはりの軸方向変位との整合性から省略される場合も多い。すなわち、εを線形ひずみεＬと非線形ひずみεＮにわけて次式を用いる。

　したがって、非線形ひずみは、垂直変位の変位勾配ｄによってのみ表示されることになる。
ここで、変位勾配は

となる。
　線形ひずみによる仮想仕事式は微小変位理論による剛性マトリックスを、非線形ひずみと先行状態における応力σ０による仮想仕事式は接線幾何剛性マトリックスｋＧを導くことになり

が成立する。
　先行状態における応力σ０は曲げモーメントをＭ、軸方向力をＮとすれば

であり、二重積分において，断面内、中立軸に関する積分　∫ｄＡ＝Ａ、∫ｙｄＡ＝０　を考え

として接線幾何剛性マトリックスを求めることができる。
　ＢＴＢは、６行６列の対称マトリックスであり、そのｉｊ要素をＢｉｊとして、その非零要素を求めれば次のようになる。

４．接線剛性法のための要素剛性分離の手法による２節点要素の接線幾何剛性マトリックス

　有限要素法との比較・考察のため、要素剛性分離の手法による２節点要素の接線剛性方程式について考える。この場合の接線幾何剛性マトリックスは力の釣合と適合条件の幾何学的考察のみからでも容易に定式化できることに注目されたい。　接線剛性法では、まず要素内の応力とひずみの分布状態を規定することのできる要素端(接続節点）に関する独立な要素端力と対応する変位の組合わせを要素力と要素変形として設定しなければならない。すなわち、要素に静定で安定な支点条件を考え、支点反力を除く節点力とそれに対応する節点変位の組み合わせであり、２節点要素の場合、図−２のように要素座標系として (b)単純ばり座標系と(C)片持ちばり座標系による組み合わせが考えられる。

　しかしながら、(b)を用いた場合には、その収束解の精度が要素分割数を２倍にした(c)の場合と同等となり、明らかに(c)より有利である。
　 したがって、ここでは、単純ばり座標系を採用することにする。
　前述のように本手法によれば、要素は、通常の有限要素法の手法による場合のように直線である必要もなく、平面２節点要素であれば何でもよい。

　すなわち、要素力ベクトルを

として、要素の共通座標系に関する、要素端の節点力への変換式（平衡条件式）を求める。

弦長をＬ、共通座標系に関する弦１→２の方向余弦をα、βとすれば

のように表され、中辺第１項は要素力剛性に関する接線剛性マトリックス、第２項は接線幾何剛性マトリックスを導く。
　共通座標系に関する弦長の水平成分をｘ、垂直成分をｙとすれば

1. 有限要素法の幾何剛性は、要素力剛性による項が剛体変位に関わる明解に定式化可能な部分と分離されずに混在し、弦に垂直な要素端力に関する項が省略されている。
2. 上記の欠落項の影響は、荷重分割によらない強非線形挙動の解析の場合に収束性が悪化したり、発散したりすることがある。
3. 　有限要素法では要素の種類ごとの幾何剛性の定式化が必要であるが、接線剛性法は要素の種類に無関係に、２節点要素、多節点要素および剛節または滑節という分類によるはるかに汎用性のある定式化が可能である。
4. 有限要素法に比べ接線剛性法による定式化は、単純明解であり、得られる接線剛性方程式を要素力式と整合させ仮定（どんな特性の要素を用いるのか）に忠実な厳密解が得られる。
5. ひずみテンソルの非線形性を厳密に評価して定式化しても、要素分割によりその影響が激減する要素力式の非線形性の補完と同じことであり、線材としてのはり・柱の微分方程式からの要素力式と接線剛性法の幾何剛性とによる精度と高収束性には及ばない。　

1. 後藤茂夫、羽根悟朗、田中達朗：接線剛性法による骨組構造物の大変形解析　土木学会論文報告集,No.238,pp.31〜42,1975.
2. 前田幸雄、林正：立体骨組構造物の有限変位解析 土木学会論文報告集,No.253,pp.13〜27,1976.
3. 平島政治、井浦雅司、依田照彦：初期曲率・ねじれ率を有する薄肉空間曲線部材の有限変位理論土木学会論文報告集,No.292,pp.13〜27,1979.
4. 有限要素法ハンドブック編集委員会：有限要素法ハンドブック�U応用編 （株）培風館pp.122〜169,pp.643〜651,1983.
5. 後藤茂夫：立体構造物における接線幾何剛性マトリックスの定式化土木学会論文報告集,No.238,pp.1〜11,1983.
6. 後藤芳顕、松浦聖、長谷川彰夫：充実断面空間棒材の有限変位理論の一定式化構造工学論文集,Vol.31A,pp.183〜196,1983.　
7. 吉田　裕：有限要素法による幾何学的非線形構造解析法の現状と課題土木学会論文集,No.374/I-6,pp.25〜37,1986.　
8. 土木工学会：土木工学ハンドブック�T 技報堂出版（株）,pp.288〜291,1989
9. 後藤茂夫、荒牧軍治、井嶋克志：要素剛性分離の手法による構造物の幾何学的非線形解析構造工学論文集,Vol.37A,pp.315〜328,1991.
10. 後藤芳顕、渡辺康人、春日井俊博、松浦聖：空間での有限回転を伴う弾性座屈現象を利用したリングのたたみ込み土木学会論文集No.428/I-15,pp.117〜125,1991.
11. 後藤茂夫、井嶋克志、古賀勝喜、帯屋洋之：接線剛性法による要素力式の設定と解の精度構造工学における数値解析法シンポジウム論文集第18巻,pp.121〜126,1994.　
12. 後藤茂夫、井嶋克志、帯屋洋之、劉磊：接線剛性法による平面骨組みの分岐釣合系の解析構造工学における数値解析法シンポジウム論文集第18巻,pp.127〜132,1994.